小学初中数学题(2)

husonghu

不用计算器, 不做具体的开方运算, 用简单的方法比较  Ö2014 - Ö2013  和  Ö2015 - Ö2014 的大小.

注: Ö 是平方根符号.

铜山

逆向思维，前者大于后者吧……

husonghu

铜山 发表于 2015-2-12 16:30
逆向思维，前者大于后者吧……

呵呵,要证明的. Show your work.

大清太平

为方便书写，记 s5 为2015的平方根， s4为 2014的平方根， s3为 2013的平方根。

(s5-s4)/(s4-s3) = (s5-s4)*(s5+s4)*(s4+s3)/[(s4-s3)(s5+s4)(s4+s3)] = (2015-2014)(s4+s3)/[(2014-2013)(s5+s4)] = (s4+s3)/(s4+s5)
因为 s3<s5。所以 （s4+s3)/(s4+s5)<1。
故， s5 - s4 < s4 - s3看来小学能毕业了，再难一点恐怕就没戏了

铜山

husonghu 发表于 2015-2-12 16:59
呵呵,要证明的. Show your work.

证明太麻烦，还要翻出小时候学的知识，都忘光了！俺就凭感觉和视觉啦！

铜山

铜山 发表于 2015-2-13 16:10
证明太麻烦，还要翻出小时候学的知识，都忘光了！俺就凭感觉和视觉啦！
...

不过经常算算活动脑筋。也算是大脑健美操啊！
您写吧。。。

husonghu

大清太平 发表于 2015-2-13 11:40
为方便书写，记 s5 为2015的平方根， s4为 2014的平方根， s3为 2013的平方根。

(s5-s4)/(s4-s3) = (s5-s4 ...

很棒!  

方法有多种,本质基本上如大清写的一样,就是用到 (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 将根式有理化. 我再写一下另两种方法(本质都一样):

方法(1):

记 Ö2014 - Ö2013为左边,  记 Ö2015 - Ö2014为右边 (注意这里两边均为正数);

用 Ö2014 + Ö2013乘左边,  用 Ö2015 + Ö2014乘右边 (注意这里显然是: 左边<右边);

得: 左边=2014-2013=1,  右边=2015-2014=1, 即两边相等;

所以结论是: 原来的左边>原来的右边

方法(2):

同样记 Ö2014 - Ö2013为左边,  记 Ö2015 - Ö2014为右边, 并将两者都看作分母为1的分数;

用 Ö2014 + Ö2013分别乘左边的分子和分母(注意这是等值变换),  得: 左边=1/(Ö2014 + Ö2013);

用 Ö2015 + Ö2014分别乘右边的分子和分母(注意这是等值变换),  得: 右边=1/(Ö2015 + Ö2014);

显然,左边的分母较小, 右边的分母较大, 故: 左边>右边

(注: 因为本身是小学初中题, 我是以初中生为对象作解释. 对高学历者就没必要写这么多了).