几个平面整点问题解答（2）（图）

constant · 发表于 2005-12-15 04:41:18

平面上的整点是x, y 坐标都是整数的点。设n为正整数，证明：

1。存在一个圆，使得圆内恰有n个整点。

2。存在一个正方形，使得正方形内恰有n个整点。

3。设P是任意多边形，存在一个与P相似的多边形P'，使得P'内恰有n个整点。

证明3。方法和1差不多，要找一点O为心，把多边形放射出去，使得在任何时候边界上最多有一个整点。第一步是旋转一下，使得各边的斜率都是无理数，这样一条边上就不会有两个整点。第二步考虑任意两条边a, b和任意两个整点P, Q, 如下图。

在放射过程中P和Q能在这两条边上的条件是P, Q与边上与PQ平行的两点与中心点O形成一个三角形。这样的中心点的轨迹是直线段XY。（有时是一条或两条射线。）一共可数对整点和有限对边，产生可数个线段。找不在这些线段上的点为心，就可以保证任何时候边界上最多有一个整点，放射的过程中多边形内的整点数遍历所有正整数。www.ddhw.com

husonghu · 发表于 2005-12-15 07:21:30

Marvelous!!

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