一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

开开心心 · 发表于 2007-2-12 20:29:27

假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

《广场杂志》刊登出这个题目后，竟引起全美大学生的举国辩论，许多大学的教授们也参与了进来。真可谓盛况空前。据《纽约时报》报道，这个问题也在中央情报局的办公室内和波斯湾飞机驾驶员的营房里引起了争论，它还被麻省理工学院的数学家们和新墨哥州洛斯阿拉莫斯实验室的计算机程序员们进行过分析。

现在，请你来回答一下这个问题。

Chairman · 发表于 2007-10-28 21:30:58

I am slow but this one makes great sense! Agree!

qpqp0qpqp · 发表于 2007-8-21 20:42:25

本人改变主意了，胡兄回答得非常清楚。加分！！！

原贴：

文章来源: husonghu® 于 2007-2-14 21:19:15
标题：基于铱朋友的观点，让我说说其中的问题所在：.......

在扑克牌的例子里，如果我不看我拿的53张牌，从中随机地去掉52张(很可能把大王也拿掉了，52/54的可能)，等拿到我手里只剩1张时，你的1张与我的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/54的chance(也就是说你我手里这张是大王的希望都很小)。

但如果在我拿的53张牌中，去掉的52张是选出来的(都不是大王)，那么，你的1张与我的最后1张相比，就不是等概率的了，拿到大王的可能，你的1张只有1/54的chance，我的1张有53/54的chance。

lottery也同此理：共有1000000张彩票，你随机买1张，另外有999999张，如果从999999张中随机地拿掉999998张(很可能把中大奖那张也拿掉了，999998/1000000的可能)，等拿到只剩1张时，你的1张与的剩下的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/1000000的chance得大奖。但如果在999999张中，去掉的999998张是选出来的(都不是中大奖的)，那么，你的1张与剩下的1张相比，就不是等概率的了，你的1张只有1/1000000的chance，而剩下的1张有999999/1000000的chance。

轿车和山羊那题，是属于上述的第二种拿法(即，选择性地把不中的去掉)，所以原来你拿的1票与剩下的1票相比，就不是等概率的。

Hope this helps.

qpqp0qpqp · 发表于 2007-8-21 20:30:14

你把原题弄拧了（似乎让我们以为得奖的票就在那5张里，其实同样的概率在你手上这张票里）。如果主持人浓缩了得奖概率，则你手中那张有跟其他5张相同的得奖概率1/6。主持人浓缩那5张的同时，你这张的得奖概率也在浓缩。

原贴：

文章来源: husonghu® 于 2007-2-14 5:6:44
标题：狐MM和铱朋友请进，再看看我用极端例子作的说明：.....

让我们试想参加一个乐透奖：只有一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的1张。在你手里这1张得大奖的概率是1/1000000，对不？

在你手中之外的999999张彩票得大奖的概率总和是999999/1000000，对不？

现在，“主持人”把那999999张(在你手中之外的)彩票拿掉不中奖的999995张，剩下5张。这5张就“浓缩了”(或说“代表了”)原来999999张彩票得大奖的概率总和，即999999/1000000，对不？

问你要不要拿你原来手中的那1张换这5张(从999999张“浓缩”而来)中的一张，你会说不换吗？我想答案是：当然换！

差别是：

不换，你得大奖的概率就是1/1000000，真是微乎其微。
换，你得大奖的概率是接近1/5 (=999999/1000000乘以1/5)。

这个例子想通了，轿车和羊那题也就想通了：

不换，你得轿车的概率是1/3
换，你得轿车的概率是2/3 (=2/3乘以1)
(这里2/3对应于上例的999999/1000000，即是你原来这1票之外的两票得轿车的概率总和)

qpqp0qpqp · 发表于 2007-8-21 20:15:32

1000000变到5的问题，几率是增大了没错。但是换了以后还是1/5（只是主持人让你的几率增大了而已）。

原贴：

文章来源: husonghu® 于 2007-2-12 22:43:40
标题：下面用一个比较简单思路，帮助我们想通这个问题。看大家是否同意。有错请指正：

许多问题，我们把场景推到极端一些，会比较好理解。让我们试想一个乐透奖：一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的一张。现在，“主持人”把不中奖的999995张去掉，剩下5张，大奖票就在其中，问你要不要拿你原来的那一张换现在5张里的一张，你会说不换吗？

原题是从3变到2，使人难辩。现在是从1000000变到5，一看就清楚。但本质是一样的，都是概率增大了。(注意，这个极端例子的数学意义与原题的数学意义并不完全相同)

(这里有一种情况要排除在本题的题意之外：就是主持人明明知道你一开始就选中了有轿车的门，还问你要不要换。当然，这时就已经不是本题要体现的数学问题了，而是主持人在作弊、骗人了。所以，如果你今后在国内参加抽奖，不要仅仅只记住这一题的结论，还要辨一辨是否主持人有意作弊骗人，存心不让人得奖 ---- 若真是(明明知道你已经选中了，还问你要不要换)，那就去告那主持人或主持单位

)

qpqp0qpqp · 发表于 2007-8-21 20:09:59

回答完全正确。只是你的选择汽车的几率从1/3增加到1/2而已，换了以后还是1/2（其实还是从1/3变成了1/2）。其实你只能关注主持人开了一扇门之后（也就是1/2）。

原贴：

文章来源: 色盲® 于 2007-2-12 20:0:47
标题：回复：回复：回复：回复：回复：一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

实际上，如果你选了A，而主持人因为知道车在哪扇门后，并打开了一扇空门，就确认了你现在所选的门不仅仅是孤立的A了。实际上主持人帮助你排除了一个空门，所以你现在所选择的A有轿车的可能性并不是1/3，而是1/2。无论你是否改变选择，你选中有车的门的可能性都是1/2，除非你还把主持人打开过的门考虑进去，算1/3

CmodifiedProblem · 发表于 2007-2-20 03:18:40

This problem is the same as the following modified one,

假设你在进行一个游戏节目。现给2扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另一扇门后面是一头山羊。
主持人先你作一次选择, 你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车。

Change or no change, no difference.

ChangeOrNotNoDiffere · 发表于 2007-2-20 03:11:41

No change is better, because it saves your energy.

开开心心 · 发表于 2007-2-16 00:19:43

有理

yinyin · 发表于 2007-2-15 23:50:20

哈哈，杀麻雀用牛刀。

不过，麻雀还是不能幸免于难的。

顺便说一下，随机模拟不是证明（proving），仅是印证（verifying）。只要懂得概率论中独立事件及条件概率这些概念，问题就迎刃而解了。

yinyin · 发表于 2007-2-15 23:26:14

看来铱兄没理解我说的话

。"看看有几本是写着 "以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的" "是说绝大多数概率论书上都没有写出这一结论。它不是从哪本书上抄下来的（虽然可能会出现在某本书上），所以才说不教条。书是人写的，没错。而且绝大多数书中都会有这样那样的错误。yinyin读过的数学书中就很少有不带错误的，经典著作Measure Theory （by Pual R. Halmos)就是这 "很少" 中之一。这确是一本好书，借此坛向学过概率论但不熟悉概率公理化定义的朋友们推荐该书第九章Probability。

开开心心 · 发表于 2007-2-15 22:43:22

先感谢一下大家对这个帖子支持

先来几个简单觧释方法

1、其实可以枚举一下所有的情况，例如：有a,b,c 3扇门，a后面是车。
那么：
1.选a，那么主持人打开b。改：没车；不改：有
2.选a，那么主持人打开c。改：没车；不改：有
3.选b，那么主持人打开c。改：有车；不改：没车
4.选c，那么主持人打开b。改：有车；不改：没车 www.ddhw.com

总结：
你选了a，那么，改：没车，不改：有
选了b,c,那么，改：有，不改：没车
你已开始选的是a的概率是1/3，bc概率是2/3，所以换好

--------------------------------------------------------------------------------------------

2、如果一开始选中答案不改
           换  不换
选中   1/3  0    1
没选中 2/3  1    0 www.ddhw.com

所以换->  0 * 1/3 + 1 * 2/3 =2/3
    不换-> 1 * 1/3 + 0 * 2/3 =1/3
所以换好
-----------------------------------------------------------------------------------------------

3、方案1
step1: 选中车概率1/3 step2: 不变，故保持概率1/3
所以方案1 得到车的总概率 = 1/3

方案2：
情况A：step1选中车概率1/3，则step2得到车概率0，所以此概率为1/3 * 0 = 0
情况B：step1选中羊概率2/3，则step2得到车概率1，所以此概率为2/3 * 1 = 2/3 www.ddhw.com

所以方案2 得到车的总概率 = (1/3 * 0)+(2/3 * 1) = 2/3 换好
-------------------------------------------------------------------------------------------------4、
最开始的概率分布：
a b c
1/3 1/3 1/3

你选了a,主持人排除了c.留下b.
主持人参与后的概率分布:
a b c
1/3 2/3 0
现在你选b，就捡了个大便宜哦！所以当然要换。 www.ddhw.com

主持人帮你排除了一个错误的选择，于是你所获得的有用信息
增大了。这就是关键！
------------------------------------------------------------------------------------------------www.ddhw.com

最后试用计算机模拟了这个过程，来计算每种选择的成功的概率。下面是采用C++编写的模拟程序：

＃i nclude www.ddhw.com

＃i nclude

＃i nclude www.ddhw.com

www.ddhw.com

using namespace std;

www.ddhw.com

bool changeSucc( int sam1, int sam2, int sam3 );www.ddhw.com

int checkCar( const vector<int> &vecDoor );www.ddhw.com

www.ddhw.com

void main

{www.ddhw.com

int cntExperiment; // 试验次试www.ddhw.com

cout << "Input the count of samples: ";

cin >> cntExperiment;www.ddhw.com

www.ddhw.com

// 产生3*cntExperiment个随机数www.ddhw.com

vector<int> vecSam;www.ddhw.com

srand( time(0) );

for ( int i = 0; i < cntExperiment*3; i++ )www.ddhw.com

{www.ddhw.com

if ( i%3 == 0 ) cout << endl;www.ddhw.com

float num = rand;www.ddhw.com

vecSam.push_back( num );www.ddhw.com

www.ddhw.com

cout << num << " ";

}www.ddhw.com

www.ddhw.com

int cntChangeSucc = 0; // 换门之后成功的次数www.ddhw.com

int cntChangeFals = 0; // 换门之后失败的次数

www.ddhw.com

// 进行cntExperiment次试验，每次取得3个随机数（代表三个门）www.ddhw.com

// 统计考生第二次换门之后能成功取得轿车的概率www.ddhw.com

for ( int i = 0; i < vecSam.size; i = i + 3 )

{www.ddhw.com

if ( changeSucc( vecSam, vecSam[i+1], vecSam[i+2] ) == true )www.ddhw.com

{www.ddhw.com

cntChangeSucc++;www.ddhw.com

}

elsewww.ddhw.com

{www.ddhw.com

cntChangeFals++;

}www.ddhw.com

cout << "cntChangeSucc = " << cntChangeSucc << endl;

cout << "cntChangeFals = " << cntChangeFals << endl;www.ddhw.com

www.ddhw.com

cout << "change success prob: " << (float)cntChangeSucc / cntExperiment << endl;

}www.ddhw.com

www.ddhw.com

// 用三个随机数表示三个门，sam1,sam2, sam3中最大的数表示门后是轿车www.ddhw.com

// 假设考生第一次选择了第0号扇门，这里没有采用随机选择的方法www.ddhw.com

bool changeSucc( int sam1, int sam2, int sam3 ) www.ddhw.com

{

vector<int> vecDoor;www.ddhw.com

vecDoor.push_back( sam1 );www.ddhw.com

vecDoor.push_back( sam2 );

vecDoor.push_back( sam3 );www.ddhw.com

www.ddhw.com

int car = checkCar( vecDoor ); // 轿车的代表门号www.ddhw.com

www.ddhw.com

// 由于考生选择了第0号门，现在主持人去掉剩下两个门中的一个www.ddhw.com

// 这里采用去掉剩下两个数中较小的数，以保证不要去掉轿车www.ddhw.com

int change; // 考生选择change时，选择的另外一个门号www.ddhw.com

if ( vecDoor[1] < vecDoor[2] )www.ddhw.com

{

change = 2;www.ddhw.com

}

elsewww.ddhw.com

{www.ddhw.com

change = 1;

}www.ddhw.com

www.ddhw.com

// 判断如果change，是否取得轿车www.ddhw.com

if ( change == car )www.ddhw.com

{

return true;www.ddhw.com

}www.ddhw.com

else

{www.ddhw.com

return false;

}www.ddhw.com

www.ddhw.com

// 检查哪个门后是轿车，这里用最大的数代表轿车www.ddhw.com

int checkCar( const vector<int> &vecDoor )

{www.ddhw.com

int max = 0;

for ( int i = 0; i < vecDoor.size; i++ )www.ddhw.com

{www.ddhw.com

if ( vecDoor > vecDoor[max] )www.ddhw.com

{

max = i;www.ddhw.com

}www.ddhw.com

}

www.ddhw.com

return max;www.ddhw.com

}

经运行之后，第二次换门之后成功获得轿车的概率为2/3。要换

www.ddhw.com

yinyin · 发表于 2007-2-15 11:48:57

并不是所有二中选一的experiment都具有（１／２，１／２）的概率分布。狐M说的 "在剩下的两扇门中又做了一次选择" 中的两扇门的地位是不对称的，不能由此推定概率分布是（１／２，１／２）。
yinyin才不教条呢。狐M可去查查概率论教材，看看有几本是写着 "以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的" 。

狐 · 发表于 2007-2-15 08:13:47

YIN也气得吐血,才公布答案吗?

慢! 莫非...你不知道答案?

狐 · 发表于 2007-2-15 08:01:56

其实,当玩家在主持人打开一扇羊门后,回答说不改变选择时,他就已经在剩下的两扇门中又做了一次选择,只不过选的和第一次是一样的. 这就是1/2的来由.

本贴由[狐]最后编辑于：2007-2-15 1:13:12

yinyin · 发表于 2007-2-15 07:28:16

Hu兄在例子中已说得很清楚。请持反面意见的朋友们再温习一下概率论基础知识。另外，请诸位朋友注意概率论中这样一个基本结论：以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的。因此，事件 "打开的门后没车"（以概率１发生）与事件 "你所选的门后有车" 是相互独立的，。这样，在事件 "打开的门后没车" 发生的条件下，事件 "你所选的门后有车" 的条件概率与原来的概率（无条件概率）相等，即还是１／３。它不会因事件 "打开的门后没车" 的发生而改变。

husonghu · 发表于 2007-2-15 05:19:15

在扑克牌的例子里，如果我不看我拿的53张牌，从中随机地去掉52张(很可能把大王也拿掉了，52/54的可能)，等拿到我手里只剩1张时，你的1张与我的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/54的chance(也就是说你我手里这张是大王的希望都很小)。

但如果在我拿的53张牌中，去掉的52张是选出来的(都不是大王)，那么，你的1张与我的最后1张相比，就不是等概率的了，拿到大王的可能，你的1张只有1/54的chance，我的1张有53/54的chance。

lottery也同此理：共有1000000张彩票，你随机买1张，另外有999999张，如果从999999张中随机地拿掉999998张(很可能把中大奖那张也拿掉了，999998/1000000的可能)，等拿到只剩1张时，你的1张与的剩下的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/1000000的chance得大奖。但如果在999999张中，去掉的999998张是选出来的(都不是中大奖的)，那么，你的1张与剩下的1张相比，就不是等概率的了，你的1张只有1/1000000的chance，而剩下的1张有999999/1000000的chance。

轿车和山羊那题，是属于上述的第二种拿法(即，选择性地把不中的去掉)，所以原来你拿的1票与剩下的1票相比，就不是等概率的。

Hope this helps.

husonghu · 发表于 2007-2-15 04:43:01

让999998个不中的人先声明自己不中，最后只剩2张时(你是其中之一)，你就觉得你有1/2的可能中大奖了？那样的话，你花1万元买1张彩票都值了。(而大多数人觉得花1元买1张彩票都不值，为什么呢？)

所以你也真的觉得你拿1张扑克牌，我拿53张扑克牌，你我拿到大王的chance是一样的？只要你耐心地等我放弃52张非大王的牌，手里只剩1张时，你就觉得你也有1/2的可能拿大王了？

本贴由[husonghu]最后编辑于：2007-2-14 22:37:6

开开心心 · 发表于 2007-2-15 01:30:08

讨论结果还未統一、不宜太早公开结果

狐 · 发表于 2007-2-15 00:14:45

不宣布?! 要不悄悄发信告诉我?

开开心心 · 发表于 2007-2-14 23:56:41

大学生总以为自己好醒、中小学生並沒有參与、答案当然记得啦

狐 · 发表于 2007-2-14 23:46:56

你是说,当年没让中小学生参与讨论?

那么,各大学府17年前就钻过牛角尖了

...别告诉我们过了17年你已经忘记答案是什么了...再好好想想.

开开心心 · 发表于 2007-2-14 23:29:52

这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

狐 · 发表于 2007-2-14 22:31:13

到底有没有正确答案?快告诉大家我等少数没学过统计的这次答对了...

开开心心 · 发表于 2007-2-14 22:11:01

husonghu的彩票乐透奖玩法与铱朋友所说的lottery玩法不同，沒有得比较

狐 · 发表于 2007-2-14 21:39:26

HU哥.我就不气你了.

辛苦啦.

husonghu · 发表于 2007-2-14 19:35:40

按你的说法, 一副卜克牌, 你拿架1张, 我拿53张, 你我拿到大王的几率是一样的? 只要我把我的53张中拿掉52张(非大王的)牌, 手里剩1张, 此时, 你1张, 我1张, 你就认为你我"平等"了? 哈哈, 这样和你玩牌很合算啊! 如果你与我这样玩牌赌博的话, 你可就输惨啦!

你再想想: 一般人都会认为, 你拿27张, 我拿27张, 两人才会公平(拿到大王的几率一样); 而按你的说法, 你拿架1张, 我拿53张, 也是公平的(只要我按上述方法做一下). 你不觉得有问题吗?

(这个卜克牌的例子也很好, 与乐透奖的例子一样, 能帮人更好地理解在"轿车和羊"中, 正确的答案是"要换").

我觉得此题已讨论得很清楚了, 就此搁笔. 谢谢你的讨论, 欢迎参与

husonghu · 发表于 2007-2-14 13:06:44

让我们试想参加一个乐透奖：只有一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的1张。在你手里这1张得大奖的概率是1/1000000，对不？

在你手中之外的999999张彩票得大奖的概率总和是999999/1000000，对不？

现在，“主持人”把那999999张(在你手中之外的)彩票拿掉不中奖的999995张，剩下5张。这5张就“浓缩了”(或说“代表了”)原来999999张彩票得大奖的概率总和，即999999/1000000，对不？

问你要不要拿你原来手中的那1张换这5张(从999999张“浓缩”而来)中的一张，你会说不换吗？我想答案是：当然换！

差别是：

不换，你得大奖的概率就是1/1000000，真是微乎其微。
换，你得大奖的概率是接近1/5 (=999999/1000000乘以1/5)。

这个例子想通了，轿车和羊那题也就想通了：

不换，你得轿车的概率是1/3
换，你得轿车的概率是2/3 (=2/3乘以1)
(这里2/3对应于上例的999999/1000000，即是你原来这1票之外的两票得轿车的概率总和)

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:21:17

要辩论的恐怕是 "应不应该在电视节目中出现这样的问题？"

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:12:24

狐徒请看yinyin下面在回复铱的 "不知道各位是否真学过概率" 时的解释。

yinyin · 发表于 2007-2-14 12:05:08

yinyin冒昧问一句，铱兄（M）是否修过数学系的概率论课，或者是否教过数学系的概率论课。概率是用来度量一个给定试验（experiment）中事件发生的可能性大小的。它是样本空间（连同事件域，称为可测空间）上的一个正规测度（可列可加且在全样本空间上取值１）。试验必须是原则上可无限次重复。你所讲的 "扔１０次硬币都是正面，那么第１１次是正面的概率仍然是１／２" 是用了事件的独立性（事件 "１０次都是正面" 和事件 "第１１次是正面" 是相互独立的，使得在条件 "前１０次都是正面" 下事件 "第１１次是正面" 的条件概率就等于它原来的概率,，即没有那条件时的概率）。回到所讨论的问题，事件 "打开的门后没车"（以概率１发生）与事件 "你所选的门后有车" 是相互独立的，因为主持人必须这么做而且一定能做到，它与你选的门后有没有车无关。这样，在事件 "打开的门后没车" 发生的条件下，事件 "你所选的门后有车" 的条件概率与原来的概率（无条件概率）相等，即１／３，而事件 "另一扇门后有车" 发生的条件概率为２／３。

狐 · 发表于 2007-2-14 05:58:02

真的?!

那正好换个新肺...这样新用户就有了新呼吸了

还有,别抽烟了,伤肺. 赶紧把人家送的烟拿去卖了,还可以换几个钱(才听说的)......啊呀,你也是大款,这么多现金

. 我得告诉富女...

消消气

,节日快乐!

新用户 · 发表于 2007-2-14 03:50:02

看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了

开开心心 · 发表于 2007-2-13 19:42:18

要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系

狐 · 发表于 2007-2-13 17:48:56

...因为学生顽固不化.

我还是认为换不换都一样.

竟猜者在主持人打开羊门后,猜到车的几率是1/2.

无论坚持原猜还是重猜, 都是1/2的胜率. 而不是1/3与2/3.

husonghu · 发表于 2007-2-13 12:19:50

同意你的"死规定"说法, 即: 不管你第1次有否选中都同样做同样问, 其实这等同于"不知情".

yinyin · 发表于 2007-2-13 12:16:45

说 "曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析" 是可能的，但 "曾被麻省理工学院的数学家们进行过辩论"，恐怕言过其实。

yinyin · 发表于 2007-2-13 12:11:35

题没错。美国电视节目中就有这样的安排。

yinyin · 发表于 2007-2-13 11:56:01

主持人当然知道你猜对没有，因为他必须打开一扇没车的门。我理解这问题是：不管你所选择的门后边是车还是山羊，主持人都要打开另一扇没车的门。这是一个死规定。否则，就不是一个数学问题，除非另加假设。请见下面帖子 "一个引伸出来的概率论问题" 。

yinyin · 发表于 2007-2-13 11:45:43

如果不管你所选择的门后边是车还是山羊，主持人都要打开另一扇没车的门，那么你就应该换。这样就把得车的概率从１／３提升到２／３。如果主持人有利益关系（譬如，是老板，想尽量不让你赢车），不是总打开一山羊门后再问你换不换，而是虚虚实实，见机行事（例如，往往在你选对的时后才问你换不换，而当你选错的时候往往就直接公布答案），那就不一定是一个概率论问题了（心理学？）。一个引伸出来的概率论问题是：在第二种情况下，主持人（老板）以什么对他自己最有利的条件概率分布（在猜对的条件下及在猜错的条件下）来确定他给不给你第二次重猜机会？假定他应把这两个条件概率分布告诉你。

husonghu · 发表于 2007-2-13 11:17:52

应是在他不知你第1次有否选中的情况下, 此题才有数学意义. ---- 我没说错吧?

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一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

I am slow but this one makes great sense! Agree!

回复：基于铱朋友的观点，让我说说其中的问题所在：.......

回复：狐MM和铱朋友请进，再看看我用极端例子作的说明：.....

回复：下面用一个比较简单思路，帮助我们想通这个问题。看大家是否同意。有错请指正：

回复：回复：回复：回复：回复：回复：一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

Change or no change, no difference.

Change or no change, no difference

有理

回复：答案：要换，试简单觧释一下，再附一个程式

回复：看来， 最终的解决办法是MONTE CARLO

答案：要换，试简单觧释一下，再附一个程式

回复：真教条[:P][;)]

新用户的肺已经被我气炸了,难道你一定要等到HU哥的心脏病气出来,YIN

真教条[:P][;)]

[:-Q]

基于铱朋友的观点，让我说说其中的问题所在：.......

按你这样想，你买任何lottery都有1/2的概率中大奖了：只要你沉住气坚决不看自己是否中了，

讨论结果还未統一、不宜太早公开结果[:-K]

不宣布?! 要不悄悄发信告诉我?[:&][@};-][@};-][@};-][@};-]

大学生总以为自己好醒、中小学生並沒有參与、答案当然记得啦[:-K]

回复：这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

这个题目17年前已第一次出现过答案，当年美国各大学府都有参与讨论呢！

别光顾自己开心,也要关心我们一下[;)] 快给个总结,我们好安心过年[@};-]

husonghu的彩票乐透奖玩法与铱朋友所说的lottery玩法不同，沒有得比较[:-K]

HU哥.我就不气你了.[;)] 辛苦啦.[@};-][@};-]

你的说法很funny. 按你说法, 一副卜克牌, 你拿架1张, 我拿53, 你我拿到大王的几率一样?

狐MM和铱朋友请进，再看看我用极端例子作的说明：.....

回复：要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系[;)]

回复：新拥护老师是在给我等扫盲,深入浅出地普及概率知识...很辛苦的![;)]

回复：不知道各位是否真学过概率。。

回复：看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了 [:-M]

看了标题让我开心，看了内容，俺的肺都气炸了 [:-M]

要令到麻省理工数学家们进行继续辩论是与概率並无关系[;)]

新拥护老师是在给我等扫盲,深入浅出地普及概率知识...很辛苦的![;)]

同意你的"死规定"说法, 即: 不管你第1次有否选中都同样做同样问, 其实这等同于"不知情".

回复：一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

回复：原题都出错了

回复：是呀, 所以我说"主持人明知你选中,又问你是否要换"不应是此题的题意, 也就是说应是在他不知你

一个引伸出来的概率论问题

是呀, 所以我说"主持人明知你选中,又问你是否要换"不应是此题的题意, 也就是说应是在他不知你第

回复：看来，最终的解决办法是MONTE CARLO