从许文强与冯敬尧的生死决斗想起

LHS

设k为弹仓个数，但仅一个弹仓有子弹。
假定k是偶数，例如，k=6，且冯许两人枪法极佳，只要所用弹仓有子弹就一定一枪命中对方要害，那么这样的决斗是公平的。用概率论中的条件概率可以计算出在第一轮中（头两枪）冯许两人击毙对方的概率都是1/k。事实上，冯击毙许的概率是1/k而许击毙冯的概率是（1-（1/k））（1/（k-1））=1/k。在第二轮中，概率都是1/（k-2)。第三轮中，都是1/（k-4)。 ......直到第k/2论都是1/2。
当弹仓数是奇数时，冯（第一个开枪的）就占了便宜，因为在前（k-1)/2轮中全都开空枪时，轮到冯开最后一枪，这时一定击毙许，而许无还手机会。
但若两人枪法相当但都不十分准，当有6个弹仓时，在这样的安排下，第一个开枪的要吃点亏，他们的存活率之比是1比（6-p)/5，其中p是两人共有的命中率。
其余情况，可作类似推断。

LHS

你的“后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是（1-1/k)x1/k”有误，它应为（1-1/k)/（k-1）=1/k，因为这已是第二枪了（已经排除了一个空弹仓。

另有一个途径可用来说明当k是正偶数、命中率为100%时这种决斗安排是公平的：
从1到k这k个正整数中随机地抽取一个数，得奇数代表冯在该次开枪时有子弹，得偶数代表许在该次开枪时有子弹。例如，掷骰子（k=6)一次，得4表示许在第二轮中击毙冯，而得5表示在第三轮中冯击毙许。易见，在这样的决斗中必有一人被击毙，是冯还是许，其概率都是1/2。
其实，这样的“决斗”毫无技术可言，完全是“生死抓阄”。谁生谁死，是由冯第一次开枪时那颗子弹在哪个弹仓所完全决定的。

LHS

salmonfish 发表于 2015-5-17 13:54
虽没学过概率论，直觉也会告诉俺这里有问题。
如第一轮，在未开第一枪之前，在没有任何已知条件的情况下 ...

白菜说得好，子弹在6个弹仓的哪一个中，其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实是不同于原先的无条件概率。它已从1/6变成1/5。但别忘了，实现这“条件”（第一枪空）的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。
数学公式：P(A与B)=P(B|A)xP(A), 其中A是事件“冯的第一枪是空的”，B是事件“随后许的一枪击毙冯”，P(B|A) 代表“在A已发生的条件下，B发生的概率”。

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salmonfish 发表于 2015-5-17 19:32
"但别忘了，实现这“条件”（第一枪空）的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。"
虎兄说的是在击发第一枪前 ...

看不懂鱼兄想说什么。
建议鱼兄考虑以下简单情况（实际上就是原题的第三轮）：一把枪有两个弹仓，但只有一颗子弹，谁也不知道这子弹在这两个弹仓的哪一个中。冯先对许开一枪，若是空枪，再由许对冯开枪。现在决斗还没开始，请鱼兄说说冯许两人决斗后的生死概率如何。是冯必死吗？

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NuBHH 发表于 2015-5-19 23:12
情节胡兄记错了: 1. 是两人各对自己脑门开枪, 2. 是许文强第一个用枪.

那也公平。
这样的话，看来轮到冯开第六枪时，得由裁判来帮忙了。