2004与2005

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(1)找出2004个整数(其中有若干个彼此相等)，使它们的和为0，且乘积为2004。
(2)证明：不可能找出2005个整数，使它们的和为0，且乘积为2005。

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文章来源: 禾牛 (1)找出2004个整数(其中有若干个彼此相等)，使它们的和为0，且乘积为2004。 (2)证明：不可能找出2005个整数，使它们的和为0，且乘积为2005。 【题目】 定义一组数中的最大值为这个数组的“指标”。 (1)找出“指标”值最大的一个数组，它含有2004个整数(其中有若干个彼此相等)，且其和为0、乘积为2004。 (2)证明：不可能找出一个数组，它含有2005个整数，且其和为0、乘积为2005。www.ddhw.com 【解答】 我们来证明如下命题： 存在一个数组，它含有n个整数，且其和为0、乘积为n的充分必要条件为n是4的正倍数。 先证必要性。设n是符合条件的正整数，即存在整数a0，a1,...,an，使a1+a2+...+an=0，a1*a2*...*an=n。设a1，a2，...，an中偶数的个数为r。 若r=0，即a1，a2，...，an均为奇数，奇数个奇数之和必为奇数，不可能为0，矛盾。故r≥1。 若r=1，则n为偶数，在a1，a2，...，an中有1个偶数，n-1(奇数)个奇数，故其和仍必为奇数，不可能为0，矛盾。故r≥2。 因此在a1，a2，...，an中至少有两个偶数，故它们的乘积n必是4的正倍数。 下面用构造法证明其充分性。设n=4k(k为正整数)。因所求数组至少有两个偶数，为使其“指标”为最大，显然数组元素中可能取的最大值为2k，此时另一个偶数为2或-2，而其余数都只能是1或-1。www.ddhw.com 情形(a):若数组中有一个2k，一个2，p个1，q个-1，则因其总个数为n，得p+q+2=4k，因其和为0，得p-q+2k+2=0，解得p=k-2，q=3k。注意q与k的奇偶性相同。因其乘积为(2k)*2*1^p*(-1)^q=n*(-1)^q=n，故q应为偶数，即当k为偶数时，数组元素为一个2k，一个2，(k-2)个1，3k个-1。 情形(b):若数组中有一个2k，一个-2，p个1，q个-1，同样，因其总个数为n，得p+q+2=4k，因其和为0，得p-q+2k-2=0，解得p=k，q=3k-2。注意q与k的奇偶性仍然相同。 因其乘积为(2k)*(-2)*1^p*(-1)^q=n*(-1)^(q+1)=n，故q应为奇数，即当k为奇数时，数组元素为一个2k，一个-2，k个1，(3k-2)个-1。 命题证毕，同时也很容易得到本题的解答如下： (1)因2004=4*501，即p=501,依上述情形(b),可得符合条件的数组元素为一个1002，一个-2，501个1，1501个-1，且它具有最大的“指标”值1002。 (2)因2005不是4的倍数，故必不存在符合条件的数组。 www.ddhw.com

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(2)证明：不可能找出2005个整数，使它们的和为0，且乘积为2005。 若有，因为积为奇数，每个都为奇。但这样一来，奇数个奇数之和只能是奇数，不可能是0。 www.ddhw.com