喜欢0的老鼠解答

constant · 发表于 2005-11-23 21:46:47

一张纸上写着1到9999所有的数。一只老鼠（名叫Jenny ）把所有的数字0都吃掉了。例如6012变成了两个数6和12。吃完之后Jenny很快就算出剩下所有数的和。Jenny是怎么算的？和是多少？

下面是我的解答。Jenny一定有更好的办法，可惜她不告诉我们。www.ddhw.com

设F(n)是1到n个9的数，0被吃掉后的和（我们求的是F(4)），G(n)是所有不含0的n位数的和。F(n)由下面几部分组成：不含0的n位数，最后一位是0的数，最后一位不是0，倒数第2位是0的数，最后两位不是0，倒数第3位是0的数，等等。有下列递归关系：

F(n) = G(n) + F(n-1) + (9*F(n-2) + 10^(n-2)*G(1)) + ... + (9^(n-2)*F(1) + 10*G(n-2)) + G(n-1)

化简后得

F(n) = G(n) + a_1*G(n-1) + a_2*G(n-2) + ... + a_(n-1)*G(1),

其中 a_k = (10^k-1)*2/9 - k + 1，及 G(n) = 5*(10^n - 1)*9^(n-1)，这样可以算出任意F(n)。对我们的题，有

F(4) = G(4) + 2G(3) + 21G(2) + 220G(1)
G(1) = 45
G(2) = 4455
G(3) = 404595
G(4) = 36446355

所以 F(4) = 37359000。

Jenny · 发表于 2005-11-23 22:23:55

Jenny 太笨了[:%][:%][:((][:((]

本贴由[Jenny]最后编辑于：2005-11-23 14:24:50

野菜花 · 发表于 2005-11-24 01:52:14

我们的答案不是对的吗，楼主不置可否，我以为做错了呢！

constant · 发表于 2005-11-24 03:16:43

没有说你不对呀！

只是想让更多人看看有没有更好的解。

野菜花 · 发表于 2005-11-24 07:12:58

你的题目对我来说本来就偏难，偶而看到相对容易的，化力气做了你也常看不上眼，俺自信心受挫，以后更不敢做了。

constant · 发表于 2005-11-24 19:55:43

你再冤枉我六月要下雪了！

constant · 发表于 2005-11-24 19:58:44

Jenny 才不笨呢。Jenny的谜语我一个都猜不出来，答案也多半看不懂。

野菜花 · 发表于 2005-11-24 21:40:22

这样的意见, 我也不会说了

.

constant · 发表于 2005-11-25 00:05:05

南半球六月下雪！看样子我只好认了。

寒潭清 · 发表于 2005-11-25 15:59:00

constant · 发表于 2005-11-28 22:37:23

查了一下出题的地方，答案是10^n * ((9^n - 8n - 1)*729/1280 + 9n/2)。说是用差分方程解的。www.ddhw.com

Jenny会差分方程，我们不会。

寒潭清 · 发表于 2005-11-30 14:04:07

那就赶紧请Jenny来教

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