圆形跑道上的汽车

ob · 发表于 2006-4-20 08:46:21

圆形跑道上n个不同点处有n辆汽车准备出发。每辆车1小时跑一圈。听到信号后，它们各选一个方向立即出发。如果两辆汽车相遇，则同时改变方向以原速前进。证明必有一时刻，每一辆车都在原出发点。

constant · 发表于 2006-4-20 21:45:05

很好玩的题

sean9991 · 发表于 2006-4-21 01:07:57

It could take a while to get to the l.c.m. of all the groups.

huxlnn · 发表于 2006-4-21 07:04:14

1小时以后，各车回归到原出发点。

sean9991 · 发表于 2006-4-21 16:29:00

That is not true.

constant · 发表于 2006-4-21 20:53:29

如果汽车是没有区别的，可以考虑成所有汽车都一直开，不掉头。这样一小时后每个起点都有一辆车，并且方向与开始时相同。车有区别时就形成了这些车的一个置换。设这个置换的周期为k，则k小时后所有汽车回到起点。

sean9991 · 发表于 2006-4-22 00:27:08

I would think they will form a set of smaller permutation groups. And we need a least common multiple of the number of all groups. It would need a proof that they form just one permutation group of all n cars.

huxlnn · 发表于 2006-4-22 05:34:49

的确是置换，而且n辆车次序不变，所以一定能在k小时后，各车回到原始出发点

勇敢的辛 · 发表于 2006-4-23 15:49:30

以一辆也以1小时跑一圈但不和其它车碰撞的车为参照系，在每个整点时此车都回到原出发点，看见的位置和静止参照系是一样的。

在此参照系中，和参照车同向的车是静止的，反向的车速度为每小时两圈。每次碰撞时，原来运动的车变为静止，原来静止的车变为运动，实际上每辆车会占据前一辆车的位置。设有m辆车运动，则每小时每辆车将前进2m个位置，在2m和n的最小公倍数（最大为2mn）个小时后，所有车都回到原位置。如前，此时两个参照系的位置是相同的。

事实上，2m和n的最小公倍数小时后不一定是第一次所有车回到起点。如果选的参照系方向相反，可以看到在2(n-m)和n的最小公倍数小时也是一样。只不过在这个参照系里看不到2m的情形。所以，第一次回到起点是发生在同向较少的车数目和总车数和2的最小公倍数小时后。

勇敢的辛 · 发表于 2006-4-25 10:54:54

在移动参照系中，每小时所有车前进2m个位置或后退2(n-m)个位置，第一次所有车复位发生在m和n-m中较小者和n的最小公倍数个小时后。

庄稼人 · 发表于 2006-4-28 10:53:48

I agree

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一点小更正。

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