圆的面积最大

constant · 发表于 2005-12-15 05:15:15

这题本来也应该是++++到+++++级的，分成几步后容易一点。

1。四个边长固定的四边形中，有外接圆的面积最大。

2。n个边长固定的n边形中，有外接圆的面积最大。

3。周长相同的平面区域中，圆的面积最大。

sadfsdfsdfsd · 发表于 2005-12-15 10:37:23

这个问题其实有一个简单的证明。

取周长的一半作弧线（不封闭），设两端点分别为A,B. 在弧线中任选点C, 得角ACB。如果这个角不是90度，我们可以掰成90度使三角形ABC面积最大，而保持两曲边部分面积不变。因此得到使面积最大的局部性质端点到弧上任一点张成90度，这样的图形只有半圆。

constant · 发表于 2005-12-15 19:06:53

看起来是对的，但要加一些细节。图形必须是对称的，不然这一半变大，另一半可能变小

tttttttttttyyyy · 发表于 2005-12-15 21:16:21

Yes, you are right. This is just a brief of the method. Since it's only half of the graph, symmetry is natural to get the biggest area. And also we can prove convexity is another necessary condition and it may help in the process of proof.

原贴：

文章来源:

constant® 于 2005-12-15 11:6:53
标题：回复：回复：圆的面积最大

看起来是对的，但要加一些细节。图形必须是对称的，不然这一半变大，另一半可能变小

QFT · 发表于 2005-12-15 21:51:53

smart

QFT · 发表于 2005-12-16 03:04:32

物理中的表面张力现象通常同球或圆相关。相同表面积，球给出最大体积，譬如失重状态下的水滴。

相同周长下，圆给出最大面积，例如此题。我们来考虑一个闭合的绳子，有外力作用在绳子上。单位长度上的外力相同且沿法线方向。此时形成的曲线上的任何一点曲率都相同，因此绳子最终成圆形。

当然这只是物理上的直觉，需要严格的数学证明来支持。

按照提示我给出一个不严格的考虑。

（1）四个边长固定的四边形中，有外接圆的面积最大。这个可以证明。

〔2）n个边长固定的n边形中，有外接圆的面积最大。从（1）得到。

对于固定周长，n边形小于更高边形。这容易证明。大概如下，

首先凹形不如凸形面积大。凹形做若干反射可变为凸形。我们只需考虑凸 n 边形。

考察一个角，作一直线切角为不等腰三角形。旋转该三角形180度，会形成凹形。作反射得到凸边形，不断进行下去，得到越来越高的多边形。而且可证明最大的边长趋于零。

再考虑〔2）n个边长固定的n边形中，有外接圆的面积最大。得到圆。

QFT · 发表于 2005-12-16 04:20:51

再简单些。三角形视为退化四边形。其面积小于相同边长的内接四边形。

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再简单些。三角形视为退化四边形。其面积小于相同边长的内接四边形。