1+3+5+7。。。。。+（2n-1) = n^2 问题

新用户 · 发表于 2005-12-3 20:57:26

我们知道这个等式：

1+3+5+7+ 。。。。。+（2n-1) = n²

(n 为任意整数)

用数学归纳法很容易证明，不用多说。

请用几何的方法证明（推理）。

QFT · 发表于 2005-12-4 02:52:23

n by n grid works

新用户 · 发表于 2005-12-4 05:48:25

n=1 n=2 n=3 n=4 ...... ...... ..... n=10 ..... ... .....

n=1 (红色，一个方格)

n=2 (蓝色，三个方格)

n=3 (绿色，五个方格）

n=4 (白色，七个方格)

n=5 (紫色，九个方格）

........

n=n (2n-1个方格）

方格数目就是等式左边的值，总方格的数目就是 n乘n, 就是等式右边的值。

野菜花 · 发表于 2005-12-4 21:42:55

没想到新兄还是个教书能手啊! PF!

大头羊 · 发表于 2005-12-4 23:00:08

有一个疑问：

n=1成立（如图）， n=2成立（如图），n=3 成立（如图），n=4成立（如图）....n=10成立（如图），

你就能断言n=n也成立吗？即n=10后边的那个省略号，只是一个想象而已，没有确切的证据。

换言之：你能证明有限个项成立，你想能证明无限个项成立，除了数学归纳法，别的方法有这个能力吗？

本贴由[大头羊]最后编辑于：2005-12-4 15:13:40

新用户 · 发表于 2005-12-4 23:12:26

哦，这个我不大清楚，如果题目加上，n为有限整数，应该就可以了？

新用户 · 发表于 2005-12-4 23:13:07

几个月的家教

大头羊 · 发表于 2005-12-4 23:28:55

“有限个整数的集合”，比如，600个整数的集合，我觉得等于把题的范围缩小了。原题这个n本来就是一个正整数集合才对，本来就是无限的。

我在琢磨问题到底是什么原因引起的，我现在很想知道：“证明无限项，只能用数学归纳法”这个命题是否正确。

野菜花 · 发表于 2005-12-5 00:22:05

从新兄的图看，从(n-1)到 n , 两正方形面积之差就是加出横竖两条边(设为L(n))，共长=2(n-1)+1=2n-1

所以, 边长为 n 的正方形面积= n^2=1+L(2)+...+L(n)=1+3+...+(2n-1), 对任意 n 都对.

野菜花 · 发表于 2005-12-5 00:33:47

这个等式是对整个正整数集合都成立，要证明一个结论对一个无限正整数集合成立不一定要用数学归纳法，这题就是个很好的例子(见我下面说明)。

大头羊 · 发表于 2005-12-5 01:15:14

1+L(2)（即2比1多的）+L(3)(即3比2多的）..

而对于其中任何一个数n单拿出来，你都要从1开始算起，然后加上2比1多的，再加上3比2多的......中间不能有跳跃，只能按照顺序一个一个来，对不对？所以，这个公式本身就是一种“递推”

而“递推”，就是数学归纳法的核心。

再回头来看，还恰恰还正是从n=1开始的递规，是巧合吗？还是必须的，不可逾越的“递推的基础" ? 而你所说的从(n-1)到 n 那句话，那跟数学归纳法的“递推的依据”，又有什么区别呢？

所以，我个人认为，这个算法还是一个数学归纳法，只不过中间证明的过程，是几何图形的方法而已。

本贴由[大头羊]最后编辑于：2005-12-4 17:41:46

野菜花 · 发表于 2005-12-5 06:41:00

因为这题很简单，用数学归纳法和不用看起来差不多，但用的话必须用到归纳假设：

假设 (n-1)^2=1+3+...+[2(n-1)-1]

n^2=(n-1)^2+[2(n-1)+1]

=1+3+...+(2n-3)+(2n-1)

www.ddhw.com

新用户的证法没有用到归纳假设, 是直接得到的。边长 n 的正方形面积就是这 n 个 L 型面积相加。

我只是想回答你的问题:

“证明无限项，只能用数学归纳法”这个命题是否正确。” 这个命题不正确。举个最简单的例子:

n^2+1>=2n

对所有的自然数都对，我们并不需要用归纳法，直接证明:

(n-1)^2>=0, n^2-2n+1>=0, n^2+1>=2n

大头羊 · 发表于 2005-12-5 12:44:37

got it

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1+3+5+7。。。。。+（2n-1) = n^2 问题

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haha,, 完全正确

没想到新兄还是个教书能手啊! PF!

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不好意思，俺当过老师

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