好题！
好题！ |
这个概率分布是做不到的. 钱数以10^n增长, 但分布概率却以2^n下降, 所以期望值是无穷大. |
There are some questions on your response: "这个概率分布是做不到的."----Which is the "概率分布" you mentioned? On what space is the "概率分布" defined? What is the meaning of "做不到的"? "钱数以10^n增长, 但分布概率却以2^n下降, 所以期望值是无穷大."----What is the randm variable that has your mentioned "期望值"? Please explaine these involved concepts.  |
To let people understand your "砖" and, therefore, show their "玉", could you please explaine those terminologies used in the "砖"? Otherwise, it is difficult to discuss with you. |
六点朋友勇于解答难题，精神可嘉！  不过（俺就直说了），俺看六点朋友抛的不象是砖，倒象是土坯，未经烧制，掉地就碎。帖中答非所问，语意不清，经不起推敲。Hu大哥贴的是概率题，大家应该用严谨的概率论语言来讨论。否则，彼此没有共同语言。 建议六点朋友读一点概率论著作。没有概率论的基本知识，怎么去接受别人的玉？ |
“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率 “一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率 “一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率 …… 我们把一个信封里的钱记作A,另一个信封的钱记作B(B=10A), 那么 A的期望值是: E(A)=1X(1/2)+10X(1/4)+100X(1/8)+...(元) B的期望值是: E(B)=10X(1/2)+100X(1/4)+1000X(1/8)+...(元) 可以看出E(A)和E(B)都是发散的. 所以庄家要投入无穷多钱才能达到他上面所承诺的概率分布, 这显然是做不到的. |
怕是连土坯也接不住呀.  |
俺就直说了吧, 不知诸位看清楚没, 该题与其说是概率题, 不如说是悖论题. |
这还差不多像块砖或玉。建议把“发散的”改为“正无穷大”。 从您这一说明，看到了此题与楼上俺贴的那题类似的地方了吧。它们都是想把损失的风险推到无穷远处，但现实中资金都是有限的。 如果把Hu大哥的题稍微改一下：在某一个很大的 n 时打住(此 n 以后，概率都是零)，即以概率（1/2）^（n-1）在“一个信封里有10^（n-1）元钱，另一个信封里有10^n 元钱”，那么，该换还是不该换？在这情况下，也就看清了损失的风险在哪里。 |
与你楼上的题大相径庭. 说明你还是没看清问题的实质. 如果题目的概率分布成立, 那么不管拿到多少钱的信封, 都应该换. 那么换了之后呢? 同样道理你还得继续换, 这样一来你会永远处于不断更换的怪圈. 需要解释是为什么会出现这样的怪圈. 所以我说这是悖论题. 土坯, 砖, 还是玉, 关键要看是不是识货. 不是所有人都能一点就明的. |
把楼主题中的情况看成是Lili改过后的情况中的n趋向无穷时的极限情况，也许就会明白一点。 |
请......兄(看上去阳气十足,颇有奥数金牌风度,想必属蓝军,故称兄)解释"换了之后","同样道理你还得继续换".为什么?"不断更换的怪圈",这就是悖论了? |
把自己认为正确的答案拿来分享吧. |
打住什么?打住彼此的讨论,打住别人的提问,还是只打住您的解释?"就此打住",怎么又要求别人"把自己认为正确的答案拿来"？我看最好还是别打住,欢迎继续埋头答这题.千万别再现奥数金牌的风格. |
这个题目我看不出与奥数金牌有什么关系, 可是看你张口闭口总提起他. |
您说别人没看清问题的实质.那么我把Hu兄的原帖中的钱换成数学中的区间,问题的实质不会变吧.请看下面改写了的问题: 箱子里有两个信封: “一个信封里写有区间[0,1]，另一个写有区间[0,10]” 有1/2的概率；“一个信封里写有区间[0,10]，另一个写有区间[0,100]” 有1/4的概率；“一个信封里写有区间[0,100]，另一个写有区间[0,1000]” 有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里写有区间[0,10^（n-1）]，另一个信封里写有区间[0,10^n]。现在你拿到一个信封，看到了里面写有区间[0,x]。希望拿到的信封里写的区间尽量地大，给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。 这样改写后,您所指的概率分布是做得到的还是"做不到的"?您所说的期望值是否还是"发散的"(无穷大)?
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好啊.看看康大帝和音音老师是怎么说的.您在那讨论中持什么观点？ 本贴由[学生]最后编辑于：2010-9-14 22:8:29 |
箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^（n-1）元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。 举个例子，假如你拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半(1/3的概率得1000元，2/3的概率得10元)。也就是说，如果你拿到了x元钱，换一个信封的话有1/3的概率多得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元，这告诉了我们换一个信封显然更好。 现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？ 注意楼主提到了两个问题: 第一问确是概率题, 不过是个设问句, 楼主已经给出了明确解答. 第二问才是楼主问的问题. 哪个是另外那个信封呢? 相对于你拿到的这个信封, 没拿到的就是另外那个信封. |
那在上面说过的什么“期望值”“发散的”、“做不到的”，您是随便说说，都是题外话吧，是不算数的喽。  |
如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨.  |
“现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？” --- 乍一看，是个悖论。 但细一想又不像是。[1]如果打开第一个信封是1元（样本空间的最小值），那一定得换；[2]所谓悖论，是针对命题（陈述句） 而言，而不是针对提问而言。 |
尽管楼主没有把拿到1元这一特例单独计算(期望值增加从2.4x变成3x), 但它仍没超出对任何x都应该换这一初步结论中. 至于悖论中的问句, 应该是指出冲突所在, 起画龙点睛的作用吧. 如"理发师的头发谁来理呢?" |
这个问题是不严密，也是不成立的。 这个题一开始就说了这不是一个均匀分布的概率，但题最后问的是“换一个”这样一个同等概率的行为。此题的不严密处在于在一个箱中的Ｎ个信封，你如何放置这些信封才能满足题中的2^N递减的概率？知道了这一条件,这个问题才好回答。而问题的“换一个”明显是在误导。 |
你可以理解成庄家准备了足够多的箱子, 每个箱子里都有钱数成十倍关系的两个信封. 而你随机得到一个箱子. 根据给定的概率分布, 随着箱子的增多, 钱的增加要更快. 从而使得每个信封里的钱的期望值成为无穷大. 这要求庄家平均每个箱子都要投入无穷多的钱, 这是做不到的. 即使是均匀分布, 庄家也做不到. |
瞧您说的，‘如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨. ’这不让人感到有点胡椒味了？楼上学生哥已经提醒了，希望金牌风格(典型的胡椒味)不要再现于脑坛上。看来不是捕风捉影。 您要是直截了当地承认您那“期望值”“发散的”、“做不到的”是随便说说，都是题外话，不算数（当作废话）就是了。也显得光明磊落。何必羞羞答答地提出什么交换条件，还加个“无妨”！您这种做法岂不让人嗤笑！ 凡是俺提出的说法，尽管置疑，俺有义务解释；不是俺提出的，俺可以发表意见，也可以置之不理。您的帖子是不是废话，是由您的学识水平、为人处世所决定的，跟俺有没有能力或兴趣去议论旁人的见解没有直接的关系。 |
您引用时把我那个表情符号给截掉啦?  很抱歉, 那样讲只是为了和上文呼应, 绝无冒犯之意. 意思也很明确, 还用说吗, 当然不是题外话了. 不仅不是题外话, 而且是关键之处. 谦虚点, 咱摆渡一下. (谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦) “悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。它包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等六个方面的数学悖论. ...... 不敢说人家就一定对, 但比咱说得好. 人家悖论已经把概率论都包括了. 所以“期望值”“发散的”、“做不到的”不讲都不行. |
那好吧，就来看看您的“期望值”、“发散的”、“做不到的”跟“悖论”有没有什么关系。 箱子里有两个信封: “一个信封里写有正整数1，另一个写有正整数10” 有1/2的概率；“一个信封里写有正整数10，另一个写有正整数100” 有1/4的概率；“一个信封里写有正整数100，另一个写有正整数1000” 有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里写有正整数10^（n-1），另一个信封里写有正整数10^n。现在你拿到一个信封，看到了里面写有正整数x。希望拿到的信封里写的数尽量地大，给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。 这样改写后,您所指的概率分布是做得到的还是"做不到的"?您所说的期望值是否还是"发散的"(无穷大)? 请您明确回答：您的"做不到的"（或变成了“做得到的”）跟您所说的“悖论”有什么联系。人们从而可以判断您的那话是不是“随便说说”的。 |
建议没有学过条件概率的朋友读一读概率论教材中的相关部分，然后再来讨论会不会有所谓换来换去的"悖论"。 |
“三门”问题争得那么热闹，也是因为有人不懂条件概率。 |
不知你的1/2, 1/4, 1/8...的概率是怎么做到的. 我有个注意, 有没有看到我对楼下不要复杂化的跟贴, 或许能得到点启发? 你可以准备比如: 1024个箱子, (512个1和10元的, 256个10和100元的, 128个100和1000元, ... ) 2048个箱子, (1024个1和10元的, 512个10和100元的, 256个100和1000元, ... ) 4096个箱子, (2048个1和10元的, 1024个10和100元的, 512个100和1000元, ... ) ... ... 一直下去, 当箱子是无穷多的时候(此时符合1/2,1/4,1/8,...的概率分布), 看看平均每个箱子的钱是有限的吗? |
如果信封打开看过了, 换完盈亏自知, 故事就结束了. 现在信封不打开前, 就能算出换了概率上是赚的, 换完之后, 仍不打开信封, 你的条件概率多了什么条件, 说说看. |
“谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦”，这话似应推敲。 依俺看，“谦虚总没坏处”是对的，“除非被人当成无知来挖苦”是画蛇添足（或是欲盖弥彰）。谦虚者被人挖苦，不见得有“坏处”。有真本事在，怕什么？倒是那挖苦者，往往要自食苦果。无知者冒充谦虚，拿谦虚当遮羞布，最终恐怕也是原形毕露。 当初脑坛上曾冒泡的“xx金牌”和“随便xx”，狂妄之极（那“随便”竟然说脑坛上没人懂概率论，需要他来脑坛开讲座）。结果呢，大家都看到了。 |
概率论中有不少理论上的讨论类似于俺例中可数（无穷）空间上的概率分布，例如用poisson分布来描写单位时间内某网站被访问的次数，来描写某种材料单位面积上的疵点个数。它们都不构成什么悖论。至于楼主本题，其实质不是因为有“无穷”而生“悖论”，而是混淆了一定条件下的（无条件）概率和条件概率。所以，俺建议不熟悉条件概率的朋友去读一读概率论中的相关内容。同时也建议您不要去钻牛角尖、抱住“无穷”和“悖论”不放，也不要搞什么弯弯绕，直截了当地考虑俺提的问题。回答不了就别回答，省得别人费时。明白了条件概率这一概念，咱们再来讨论楼主本题。 在可实现的有限空间上构建类似题及其解答，等俺有时间再写出来。要是有朋友能写，更好。 |
您的“就能算出换了概率上是赚的”中所说的“概率”是怎么得来的？想明白了这个，也许就不会去钻牛角尖，也不会去“换来换去”啦。 |
先用个电学上的例子说吧, 一个系统频带可以无限宽, 但能量必须是有限的. 也就是说积分必须是收敛的. 否则就不PHYSICAL. 举个简单的例子. 我说在信封里放了钱从0到正无穷均匀分布, 你能相信吗? 你不会, 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得离0太近了. 很显然绝不会是均匀分布. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大. 尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的. |
楼主都给出了, 还用问吗? 说说你怎么想得明白吧. |
“换了”以后，那概率怎么算的？楼主帖子里没说吧。您算算看。 别着急。您要是自己想明白了不更好吗。 |
说实话，俺觉得您不是数学科班出身。不知道您熟悉不熟悉概率论中的Geometric分布和Poisson分布。您可去查查，有关讨论是不是都是在钻“悖论”牛角。再说，俺已在原题经简化的修改版本中把原来的钱数改为数学上的正整数了（期望值是无穷也没有什么关系吧），并已请您考虑。您怎么视而不见呢！不要总纠缠那钱的有限无限、进而就认定那是个“悖论”，应从理论上去看楼主帖中的推理存在什么问题。 “尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的.”------您这一段是打算说明什么呢？ 您讲过的“问题的实质”是什么呀？能不能明确地说一说？ |
好象与几何分布或泊松分布不可比拟. 还是这两个可比, 都是期望值无穷大, 不可实现. 我改写了一下, 每句对应起来, 看看我们能否找到共识 举个简单的例子, 我说在信封里放了钱, 从1到正无穷均匀分布(现金最小单位是分, 是整数域噢), 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是均匀的, 且偏重低端. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大. 看看本题例子(只看一个信封), 庄家声称信封里放了钱, 1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,..., 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是给定的函数, 且偏重低端(当N足够大后, 10^N的概率无法达到1/2^N). 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大. 由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗? |
即便是按照你的假设，我也看不出来这个2^N递减的概率是怎么保证的？ 假设庄家有Ｎ个箱子，每个箱子中有两个信封。如果是随机挑选的话，那任一个信封被选中的概率为1/N*1/2=1/(2*N)，这显然不是题中所说的1/(2^N)。注意我说的是“随机挑选”，由此得知题中的“换一个”决不是“随机”换一个！如果非要回答这个问题就是朝概率小的方向选(第一次)或换(N>1)。但这就会引出你更多的疑问...... 所以说这是个伪命题！ |
实际上，这个问题有一点没交代，就是这个“换一个”不是完全“随机”意义上的换一个。因为我们知道，如果是随机的，那么任一信封被选中的概率为1/N(N为总信封数)。也许换一个角度就比较好理解了：问题的叙述仍不变，只是告诉你你必须通过一按钮让机械手去挑选，而这个机械手挑选箱子的概率分布如题所说，这样就较好回答了：因为你无法预知你第一次的结果(你无法操作机械手)，因此就不存在“当初”一说；并且题中计算的“换一个”后的概率也是基于“随机”(均匀)分布的，这本身就与它自己所说的概率分布矛盾，故此题根本不成立，是一标准伪命题。 |
好, 不急, 我抽空下边推一推. 不过我们先达个共识, 就是 对楼主推导出第一次该换的过程和结论应该没有异议吧, 要有赶快告诉我. 看您很自信的样子, 想必您自己已经推导过了. 那么我想提醒两点, 免得被"条件概率"一叶障目: 1. 在两个信封都没打开时, 我之前提到过, 和第一次换相比, 客观上并没出现新的条件. 如果您的结果变了, 打算怎么解释呢? 2. 如果是您的结论是第二次换是损失的, 岂不是出现了"妙手"通过"一拿一换", 成功地得到了那神秘的"另外那个信封"? |
实际上，这个问题有一点没交代，就是这个“换一个”不是完全“随机”意义上的换一个。因为我们知道，如果是随机的，那么任一信封被选中的概率为1/N(N为总信封数)。也许换一个角度就比较好理解了：问题的叙述仍不变，只是告诉你你必须通过一按钮让机械手去挑选，而这个机械手挑选箱子的概率分布如题所说，这样就较好回答了：因为你无法预知你第一次的结果(你无法操作机械手)，因此就不存在“当初”一说；再有，在知道了上一次挑选的结果后，换另一信封钱数变少的概率比便多的概率要大一倍，显而易见为什么要冒这个变少的风险。 |
这个悖论还是由无穷引起的。如果“有1/2^n的概率发生这样的事情”的n只取1到N，则悖论不存在（N任意大），因为你如果发现信封里有10^N元钱，你就不换了，如果小于这个数，那你就换一个。而n取遍所有自然数，就没有这么个上界，这个取到最多钱数的“终极情况”就在无穷处“消失”了。 这种无穷导致的概率悖论是很常见的。比如可以举出下面的例子，比LZ的例子要简单，但是悖论产生的原理是一样的，因而更容易看到问题出现的原因。 假设你做一个游戏，游戏的结果是你会随机得到报酬，你有(1/2)^n的可能得到10^n元。现在你做了一次游戏，假设得到了10^N元。你有一个机会，把游戏重玩一次（但要把已经得到的10^N元交回去），你愿意重玩么？按照数学期望的话，重玩总是有利的。但是，既然已经重玩必然有利，为什么不直接玩“第二次”呢？事实上，因为期望其实是无穷大的，因此你不管得到多大的一个（有穷的）结果，都小于期望。 |
您可能没看清题, 他是说换另一个, 每个箱子里只有两个信封(钱是10:1). 例如拿到的是100元, 换的可能是10元或1000元. |
说得有道理！ 您给出的简单例子，很能说明问题。在观察值有限而期望值是无穷的情况下，比较两个观察值（给定的样本值）的大小是可以的，比较一个观察值和一个期望值也是可以的（一个的观察值小于另一个的期望值），但不能由此得出一个的期望值也小于另一个的期望值的结论。两个正无穷大是分不出大小的。所谓“悖论”的出现，是把给定的样本值和期望值混淆了，也就是把“给定”这个条件扔掉了。
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所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念. 期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的. |
学生哥的答案不错。 那原帖中“既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”的提问，是基于一种概念偷换：把“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的观察值大”偷换成了“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的期望值大”。那所谓的“悖论”“换来换去”的提出，是因为在计算换过信封后再换回去的条件期望值时应该用的新的条件概率（新加条件是：第一个信封的x已固定于某一值）被偷换（注：这里不是说某人在故意偷换，而是指过程中不易被人，甚至包括提出者，察觉的细节改变）为先前的（无新加条件的）条件概率。所以，俺先前建议六点朋友动手算一算，别想当然地以为换过一次之后再考虑是否还要换回去时能跟原先完全一样来计算条件期望。弄清楚了这两次计算条件期望的差异（条件不同了！），就自然不会再有“换来换去”的所谓“悖论”了。 现在，朋友们可以再来看看，lz的这个题能不能算是“悖论”题。 |
您说的“无限大不是数, 而是个极限概念. 期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的”没错，“正无穷大”只是个记号。但在数学中把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。Topology中不是还有一个“一点紧化”吗。所以，学生哥帖中有关用词不必“纠正”。 此前您的那句话，似乎缺乏针对性。 |
本想逐字逐句地点评一下, 发现太花时间, (不是怠慢, 是怕耽误交流). 提请注意几点: 1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变. 2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆) 3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓. 4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态. 5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此! 要深思熟虑, 不要急于下结论. |
10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的. |
俺实在是有点笨，还是看不懂您那第三、第四两段在说啥。不知道您用的是哪门专业的术语，哪国语言的逻辑结构。既不是S（数）学，又不象W（物理）学，莫非是X学？再说，俺从来没听说过什么“从1到正无穷均匀分布”，还有什么“现金” “是整数域”（钞票面值有负的多少分的？俺不知道您的“整数域”是怎么定义的。）  ，这些只有“大数学家”才有的新“知识”得向您请教了。坛上若有仁人志士，亦清多多指教。看了您的“由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗?”，俺真不明白为什么您总是不顾俺的建议去想想用数学上的整数替代现实生活中钱数之后的相应问题呢？在此，再次建议您去想一想，在这样修改后的问题中，还“不可实现”吗？下面学生哥和俺的帖子中已清楚地指出了所谓“悖论”的由来。它与可不可“实现”无关，而是由于推理者犯错误（偷换概念）所造成的。 |
请看俺下面的帖子，也许其中内容已化解了您的问题。如果还有问题，请再提。 盼“推一推”后，把“推”的步骤、所用的公式和量值、以及所得的结果告知。多谢！ |
大家都“要深思熟虑, 不要急于下结论.” 别的不用多说了，许多道理都在学生哥和俺在这24小时内的新帖中阐明了，lz原题的答案学生哥也给了（对错就请大家评论吧，反正俺投赞成票）。请再仔细看看想想。 俺在这里向您提个问题（其实，它已在俺的帖子中回答了，只是您没有看进脑子里去），也许能有助于解决争论：您在（5）中所说的“B比A好”中的A是什么？而在“A比B好”中的A又是什么？它们是一个东东吗？想清楚了这个，问题就解决了一多半了。 |
俺可没说过"10^N" "是特殊的数"，也没说过"N"等于无穷大啊! 俺只是说：把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。其中“数”是有引号的，即，它不是数，只是把它放到非负数一起，仍不失全序空间所要求的按序可比性，即扩张了原来的全序空间。您的话“10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.”岂不是无的放矢？是不是又是随便说说的废话？ 请解释，您的标题中所说的“可就偷换概念了”是什么意思？拿什么“偷换”了什么“概念”了？能不能说清楚点？ 在这脑坛上曾有把别人的话歪曲篡改后再加以抨击的个例，其下场如何，有目共睹。标题党的做法，也被人唾弃。 |
请查看，在实分析（内地通常叫实变函数论）或测度论中是如何把正无穷大放到非负实数集中，一起作为测度的值域的。俺老师的几本专著中也都有类似的表述。 |
是悖论题吗？ |
最终证明还真是土坯啊！都碎成土渣滓了。谁能接得住？  |
A, B分别代表箱中的两个信封, 可作为标签贴上去. 要深思熟虑, 不要急于下结论. 是想说去尝试把我列出的5条逐步建立起共识, 再做结论. 学生哥这句开场白说得精彩: 若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。  建议大家在这停一停, 把它的内涵都挖掘出来, 离结论真的就不远了. |
所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念. 期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的. 所说的数, 都是同一概念, 不包括特殊的"数". |
欣赏您的“离结论真的就不远了. ” 俺也有这样的感觉。 那好，明确了A和B指的是那两个信封后，请进一步分别说清楚“B比A好”以及随后的“A比B好”的确切含义。既然您已承认学生哥说的“若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。”并加以赞扬 ，那么在解释“B比A好”及“A比B好”时请务必分清“信封中钱数的期望值”和“信封中钱数的观察值”这两个不同的概念。这样，就能看出您这两个A的含义是否相同，“离结论真的就不远了. ” |
悖论在最后的提问之前就存在了. 从一开始的概率分布就埋伏好了. 必然引出荒唐甚至可笑的结果. "既然总是换个信封好些"已经就是荒唐的结果了. "换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步. 以使没有意识到第一个荒唐的人看得到. 来个更直观的. 用不着计算条件概率. 派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗? |
您这帖的内容与其标题是什么关系？“那就不是本题了”中的“那”指的什么？帖中内容并没有显示出您对“扩张[0，正无穷大）到[0，正无穷大]”的做法有什么反对意见。事实上，把正无穷大加入到非负实数集里面去，丝毫未改变原来非负实数集所具有的好性质，丝毫未影响您所说的几个“数”的含义以及它们之间的关系（这就是“扩张”这词的特定含义）。而加进正无穷大，正好“紧(compact)化”了原来非紧的左闭右开区间（请没有“紧性”这一概念的朋友，有兴趣的话，去参阅 General Topology 方面的书。不过，没有这个概念也无妨，只要理解“正无穷大”比任何实数都“大”就可以了，这跟正无穷大的极限含义是相符的。），这在数学上是十分方便的，也对lz本题的解决是有帮助的。既然您已接受了学生哥的“其期望值为正无穷大”的说法(这不已经把正无穷大看成值了吗！)，难道您还反对建立起有限数跟正无穷大之间的可比关系？ 顺便提一下，发帖和回帖时请注意不要语焉不详、让人不知所云，以节省您、俺、及广大网友的时间。 |
构lz本题者，不是无意中犯错，就是故意设局、供大家思考明辨。所以，俺在lz刚贴出本题时就叫好。 某个有限值随机变量的期望值是正无穷大，这在概率论中并不鲜见（在微积分中，某个非负值函数在某个区间上的定积分为正无穷大更是常见。而有限值随机变量的期望值就是随机变量在概率空间上按概率测度的抽象积分），其本身不是什么“悖论”。由于其期望值总“大”于（按俺已经解释过的全序）观察值，这就为使用者犯错提供了“土壤”。“引出荒唐甚至可笑的结果.”是犯错者的错误造成的，怎么能怪罪于那个随机变量呢！（说个笑话吧。有人在某地种植鸦片被查获，此人申冤说：这不是我的罪过，是那地的错！） 您的‘"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步’倒是说得很对，这“放大”正是您做的啊！至于“以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.”中所说的“第一个荒唐的人”，不是构题者（俺相信不是他）就是第一个在这里解题时犯错的人。但这句话还是让人难以看懂。 您的“派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗? ”还是语焉不详，能不能改一改作风，说得具体点、详细点？信封里装的什么、概率推算什么、赢的标准是什么，怎么都不说？总这样含含糊糊，就会让人怀疑您是不是故意如此，让人难以回帖，以显得自己学问高深莫测？ |
哈! 总算放弃了"不可实现"造成了"悖论"的武断。谢天谢地！  |
明天要出门, 国内多年前的老同学也要来, 怕近期没时间陪诸位. 其实我也很忙, 我想大家也一样. 作为脑坛老朋友(跟HU兄差不多老), 看到脑坛有些冷清, 本想来个抛砖引玉就走, 结果没走成, 大家都看到了. 仔细思考之后, 发现我们之所以谁也说服不了谁, 是因为有点盲人摸象了. 往后退一点的话, 有一条共识足矣. 就是这个概率分布不可实现. 如果还不理解的话, 查一下圣彼得堡悖论有关话题看是否有帮助. 在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论. 就象出现矛盾方程一样, 如 X+1=X+2 甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾. "换来换去"其实是矛盾结论之一. 妙手得到"神秘信封"也是矛盾结论之一. 另外归属悖论问题也不必质疑了, 前面高人已将它对号入坐了. 如果同意的话, 我们就到此为止吧, 确实有些累了. 你们呢? |
俺再花点时间来评论一下您的五条，请您回答、给出理由表明同意或不同意。仍按您的编号，着灰色部分是您原话，不着色部分是俺说的。 2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆) 3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓. |
俺只懂概率分布是不是well defined，而不懂您的“不可实现”，不知道按您的理解怎么才算“可实现”。举个例子看: 掷个硬币，得正面还是反面，说概率分布是（1/2，1/2），俺认为这是well defined。您能实现吗？您到哪里去找那两面绝对对称的硬币？您如何保证抛起它的时候的用力对两面绝对平等？理论模型跟现实问题的差异总是存在的，只要近似到人们可接受的程度，就有价值。理论模型一定要在理论上well defined。lz本题中随机变量的期望值为正无穷大，理论上是well defined。现实中可以用近似的有限情况来模拟，并用取极限观点来分析。 您要是觉得“圣彼得堡悖论有关话题”对此题“有帮助”，能转贴出来，帮助大家（特别是俺）不更好吗？ 至于您的“在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论. 就象出现矛盾方程一样, 如 X+1=X+2 甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.”，实在是看不出跟本题有什么关系。这方程问题从矛盾出发，即使推理都对，得出各种矛盾是毫不奇怪的事，学过逻辑学的人都知道。但在讨论本题时，题中给出的概率分布是well defined，现有的数学工具完全可以处理，仅仅因为您的推理出错，从而得到矛盾，还把这种矛盾称作为“悖论”！您要是能静下心来，好好想想俺在上面帖出的评论和提出的问题，也许您就不会这么固执了。俺可对您提出的问题都给了回音（如有遗漏的，请提醒，俺尽力而为），可您怎么总回避俺提的问题呢？一而再，再而三地、自说自话，这叫讨论吗？还真有学生哥所指的那种"金牌"风格！ 世上为一部分人已接受的东东，不一定都是正确的，因为那都是人创造出来的。咱们也都是人，讨论讨论也许也能创造出点东东来。不久前俺帖出的关于离散型随机变量的定义的讨论（还在此页）就是发现在好多教科书和网站上该定义存在问题。这可算是概率论的基础知识之一了吧。您能回答吗？ 矛盾是不是都可叫悖论，也是可商榷的。任何错误都有可能导致某种矛盾，例如，一人计算1+1时得3，可别人得的是2，矛盾啊，这叫悖论吗？ 耽误您办正事，不好意思！俺也可算是半老网友了，多谢您继"金牌"、"随便"之后又让脑坛不“冷清”了一番！ |
白马是马.  |
连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！  |
想错说错了，更正了就行。坛上没人会耻笑，何必扯那白马非马的典故来当遮羞布、来暗讽别人呢！肚子里那点墨水，除了白马是马，还总够写那欲盖弥彰四个字吧。 感谢Hu兄贴出了好题！看了这些跟帖回帖，长了学问、也长了见识。但还真没想到，坛上竟有能跟那金牌一拼的勇士，虽然几年来那勇气中已流露些许牌气。现在看起来，按那水平堪称银牌。 有本事就具体算算那些概率，再作结论。光千遍万遍地说无穷-不可实现-悖论，东拉西扯，别人能信服吗！ 真相已大白，希望学生和Lili把问题的解答整理后贴出共享。 |
观察值和期望值的南辕北辙总得有个说法. 别得说多了没用. |
QL 是啥意思？ <冷眼看戏的Lili®>：回复：长学问了
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您不是已接受了学生哥帖子中的“期望值”和“观察值”的论断并予赞扬了吗（见http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z11z02z03z01z01&page=1）？怎么又反悔了？这回是笔误还是真反悔，请予澄清，以免别人误解了您，影响坛上声誉。 |
谢谢理解！ 俺跟学生哥商量商量，尽力而为。 |
HF哥您好！有一段时间没在坛上见您了，请多指教。 那位朋友理屈词穷，竟拿白马非马的典故来说俺是诡辩，因而无词以对（而退场）。所以俺就回敬他一个成语，让他动动脑子，就光写了个缩写。HF哥您别笑话俺啊。 |
First of all, this question is not about the convergence of the distribution. It's about human behavior. So we'll put that discussion aside. To understand this paradox, we have to understand utility function. Money has nomination value, but it's not equal to its utility. For example, $200 may be about twice as valuable as $100, but $20,000,000 might not be twice as valuable as $10,000,000. Mathmatically, we say a normal human being has concave utility function, which means the marginal increment of utility is decreasing as the nomination value increses. The paradox uses a hidden assumption, i.e., the utility of money equals to its face value U(x) = x. And it calculates expection based on this identity utility function. Therefore, it's not normal human behavior, and the paradox is created. Consider this scenario, you picked an envelop and it has $10,000 inside, you expect to get more money if you switch based on the expection. But your decision is based on your utility function at the moment. Let's assume, you have $9,000 debt and it's due today. So identity utility function is not for you, because, the utility of $1000 is way less than $10,000, the utility of $20,000 is not much better than $10,000 in hand. Now the expectation of the utility of the outcome of swiching is less than the utility of $10,000 at hand. So you'll not switch. |
在许多涉及相对地过大金额（或财富、产品等）的实际问题中，引进效函数的概念于决策过程中确会使结论更符合人们的感觉，是一种行之有效的“人性化”方法。 本题所示矛盾，其根源并不在于未引进效函数，而是在于推理过程中的概念偷换。俺希望有人能选一个效函数来试试，逐步计算概率和条件概率，再通过效函数来决定换不换，看看能否解决矛盾。当然，拿常数（譬如，0）当作效函数，结论必然是“不用换”，从而没矛盾了（这样，本题也就不是个脑坛题了）。 事实上，在本题给定数据的基础上，不需要引进效函数，仅用已有的概率论方法，经正确推导，就能得到合理的答案，不会产生那种“换来换去”的“悖论”。待俺跟学生哥商量后，贴出整理清楚的答案（答案基本上都在上面的一些帖子中给出了，但因当时需要针对异议答辨，分析、推理比较分散）供讨论。大家再看看，那答案是否有错。 |
The fundamental of this paradox IS the utility function. And people will make decision based on the expected utility of the outcome. The paradox is generated when the assumption of identity utility function is not normal human behavior. So we feel something is wrong, but cannot explain. We don't need a specific utility function to solve this paradox. As long as we know the common property of utility function, i.e., it's concave (when the money amount is high enough) for a normal person (aka risk adverse), then it's enough to solve this paradox. Generally, what will happen is, when the amount is small, people will tend to switch, because you don't care. The explanation in math: the utility function is approximately identity utility function U(x) = x at this stage. But when the amount is big, people will stick to what they got. Especially in the scenario I described, the debt will generate a big curve on the utility function. At this stage, the expect utility is not higher if you switch. So any risk adverse person will stop switching when the amount is large enough. But a real gambler (risk seeking) will always switch no matter what. Why? His utility function is convex. In all, I don't believe this is another explanation without using utility function or some sort. If you got one, I'll be interested to hear about it. |
Hu兄问题的具体Answer在哪里？能不能把解决Hu兄问题的utility function给出来？ 看完帖子的感觉好像是用utility把Hu兄问题河蟹掉了。也就是说，把问题中已给定的决策准则（比较两个期望值或观察值的大小，取大者）推倒重给，就象楼上所举的特例，取常数函数作为utility function，那就河蟹了，什么矛盾也没有了 。这是Hu兄问题的本意吗？ |
您还是没有给出具体的解法。按眼下俺对您的主意的理解是：举个例子，在本题中，如果俺仅需要马上交房租$500，但打开的信封中只有$1、 $10、或不少于$1000，俺就选“不换”，因为不是钱已够付房租就是再换还是不够；仅当信封中是$100时才说“换”，而且换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够。这就避免了“换来换去”。再举个例子，如果俺现在根本不需要钱，那就抽到多少拿多少，一概说“谢谢，不用换啦！”。这样确实很河蟹（用别的人的话） 。不知俺的理解对不对，请指教。但俺觉得构题的人的原意不是这样的，而且用不用效函数不是本问题的实质。麻烦您等等，俺跟学生哥沟通后，看看谁来贴个完整解答比较方便，也欢迎别的朋友（包括那位别的人）来总结 。俺有点忙，有一篇paper的deadline是下月初。 |
The answer is already given. And more detail is provided in my reply to your post. When you are not concern about money, then you are risk nutral or risk seeking. You will always switch. I suggest you read a little more on utility function. BTW, it's translated as 效用函数. |
俺还是看不出来您是如何具体地解决Hu兄问题的  ，好像只是泛泛地讲了效用函数在风险决策中的运用。能不能在Hu兄问题中举具体的数据，例如，所选信封打开后见到$100，按您的观点和方法，来决定要不要换？如果要换，再回答“那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”这个问题。多谢指教！ |
I don't think utility function plays an essential role in the problem. It is clear from the question that the player seeks to maximize expected outcome -- so his utility function is U(x)=x (or any linear function with postive slope). Whether you introduce such an unitility function or just use the simple expectation-maximization argument, the conclusion is the same: you should switch no matter what the amount of money in your envelope is. But this is not what the question is about. What really drives people nuts is what you can derive from this: since you always switch not matter what you see in your envelope, why do you bother opening your envelope at all? you should simply switch the envelope without looking, and you will always end up better (better expected utility, if you will) -- but on the other hand, this is strange because the two envelopes are 'symmetrical', there is no reason to believe you gain anything by switching.
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经过一天的外出歇息, 头脑开始逐渐恢复清醒. 如果说世界上有鬼迷心窍的话, 上周肯定是发生在我的身上了. 怎么自己象变了个人似的. 现在自己回头都看着都丑陋.现在我正在同心中的魔鬼斗争, 理智开始逐渐占据上风. 在此先向诸位朋友说声对不起. 对所有批评我全部接受. 特别是对Lily, 学生哥, 请接受我深深的歉意. 对楼上我所有的出言不驯无条件收回, 还望海涵. 除歉意外, 还有感谢, 正是两位耐心教诲, 帮助, 才使我能尽快的从迷失中恢复理智. 虽说自己才疏学浅, 不过厚脸皮地说, 脑筋还不笨. 关于楼主的题目, 我正在从另一角度去尝试放弃原来的坚持, 不过目前仍有不少疑问没有理清. 也许以后有结果可以拿来与大家分享, 如果不嫌弃的话. |
赞一个！不争不相识，坛上仍是高手朋友。 争论中俺也有过激不适之词，收回作废，也望多多包涵。 讨论中，俺也会犯错，还请今后多指教。 |
不知Sean兄看出来了没有，即使按俺对您的思路而写的“换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够您的”看上去象河蟹了，但其中的推理还存在原来那种“换来换去”时曾有的错误。 |
Hu大哥：经与学生哥商讨，俺已写好题解(MS Word)。因有数学式子，没法拷到脑坛上。现存成pdf文件，但不知如何上传到脑坛。请告诉俺怎么办。谢谢！ 别的朋友若能指点，十分感谢！ |
不可实现的迷思: 每一个观察值是有限的, 但期望值却是无穷大. 这个命题的确有些不可思议, 直觉上感到这个概率分布有夸大其辞之嫌. 好象在说, 你有理由期望太阳从西边升起似的. 由此引出的"换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题. 在无法找到原因时, 不免归咎于这个期望值为无穷大的概率分布本来就是"不可实现"的. 现在换一个角度, 就算期望值为无穷大的概率分布真的"不可实现", 何不换成期望值为有限的概率分布? 这一点并不难做到: 将题目稍加改动, 把同一箱子里两个信封的钱数由10:1换成小于2的, 比如1.25:1, 其它条件不变, 即 1元和1.25元有1/2概率 1.25元和1.25^2元有1/4概率, 1.25^2元和1.25^3元有1/8概率, ......这时候的期望值分别为E(A)=1/2*1+1/4*1.25+1/8*1.25^2...= E(B)=1.25*E(A) 都是有限值. 都是"可实现的" 这时候如果拿到一个信封有x元的话, 换一个信封, 期望值将变成0.8x*2/3+1.25x*1/3=0.95x 假设信封里的钱代表罚款的话, 仍然会出现 "换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题. 把问题咎于概率分布"不可实现"就再也占不住脚了. |
First of all, people based his decision on some (his/her own) utility function. The function is set before we proceed to select envelop. I hope you agree on this. The evil of this paradox is "switching is always good no matter what the amount is in the envelop you picked". Here I'll try to break this. My point is, with a "normal" utility function, i.e., utility function that represents a normal person, then the evil can be eliminated. Now we assume a normal person (risk adverse) with a concave utility function. Based on this assumption, you cannot come to the conclusion that switching is always good. To the extreme, if $X can get you the whole world, is $(X+1) still better then $X? As in the example I gave earlier, if you, with $9000 debt, see $10,000 in the envelop, then switching will give you lower expected return, then you will stay with the envelop. This will break the chain that switching is always good. So your decision will based on the money that is in your hand. You will no longer blindly making decision. So now, you still want to ask, what if I have identity utility U(x)=x. I want that X+1 even if X will get me the whole world? I'll say with unresonable assumption, you will get unreasonable conclusion, and that is the paradox. There are still a lot to be said. One of them is people keep asking for specific utility function. A utility function is like a rule in each person's heart. All we can say is its general property. It's concave. It has a upper-bound. It might even start to go decreasing after certain threshold... |
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