三种棋子解答 - 珍珠湾ART

一个无限的棋盘上有有限个黑棋子，满足下列条件：任一个黑棋子都与偶数个其它黑棋子相邻（0，2，或4个）。是否一定能够把这些黑棋子用红棋子和绿棋子完全包围起来，使得每个黑棋子都与相同数量的红绿棋子相邻（0，1，或2个）？

答案是一定可以。黑棋周围的棋子可以分成若干组，一组之内棋子的颜色是有关的，一个变了大家都要变，不同组之间是互相独立的。一组之内的棋子都可以用下面两种方式连接起来：延对角线连接，并且两个棋子颜色相反（这时棋子坐标的奇偶性改变）；跳过一个黑子连接，并且两个棋子颜色相反（这时棋子坐标的奇偶性不改变）。（我们可以暂时不考虑单个独立的棋子，最后再放回来。）如果这样形成的一个回到原处的圈长度为奇数，这种染色方式就不可能了，我们要证明圈的长度一定是偶数。

满足条件的黑子会有一些宽度为1的直线或折线形成的边。这些边形成一个图，这个图的每个节点都有偶数条边。这个图把平面分成一些区域，这些区域是有奇偶性的，相同奇偶性的区域不相邻。这样我们前面形成的红绿棋子的圈必然是这样的：每一步，或者是改变坐标的奇偶性，不改变区域的奇偶性，或者是改变区域的奇偶性，不改变坐标的奇偶性。转了一圈回来之后，区域和坐标都相同，肯定是偶数步。

这样我们可以根据这两种奇偶性来给棋盘染色：奇数区域内（0，0）与（0，1）为红，（1，1）与（1，0）为绿；偶数区域内（0，0）与（0，1）为绿，（1，1）与（1，0）为红。这样就一定满足条件。