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标题: 陀螺现象的起源……质点的圆周运动+简谐振动（图） [打印本页]

作者: llaaoojiao 时间: 2006-6-12 09:05
标题: 陀螺现象的起源……质点的圆周运动+简谐振动（图）

第一部分：定性分析www.ddhw.com

它一端悬空，为什么不倒下来？为什么会做水平公转？

本文试图从基本概念入手，解释陀螺的上述现象

一、从匀质薄圆盘开始

将上图的陀螺简化为薄圆盘，将重力矩简化为作用于盘心的重力和作用于圆盘的铅直力偶Q，现在只考虑致使圆盘竖直翻转的力偶Q。为方便分析，建立随圆盘运动但不自转的表盘作为参照。

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二、在力偶作用下圆盘上质点的加速度

显然力偶Q持续作用于圆盘，并导致各质点在垂直于圆盘方向具有不变的线加速度，使得圆盘产生绕水平直径翻转的趋势。根据刚体转动定律，翻转角加速度α=Q/I，Q……力偶（外力矩）；I……圆盘对直径的转动惯量。各质点在垂直于圆盘方向的线加速度分布如下图，其中12、6两处质点线加速度最大，分别为A=-A=αR=RQ/I，（R……圆盘半径）
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三、质点的运动

圆盘以角速度ω逆时针自转，在其边缘任选一质点m，随圆盘自转。m旋转一周在垂直于圆盘的加速度变化为a=Acos(ωt)，同时完成一个周期。

四、质点垂直于盘面的运动速度与a=Acos(ωt)的关系

形如a=Acos(ωt)的加速度变化规律为周期加速度，当质点具有周期加速度，并且周期短、加速度较小、往返行程较短时，一般为简谐振动。但质点m同时在作匀速圆周运动，其运动遵从什么规律？

在理想直线匀速列车上，有一做简谐振动的质点，在地面看来，该质点在做曲线运动，但在列车上看，质点却是在做标准的规则振动。因此，匀速圆周运动质点m在圆盘上看，同样也是在做规则振动，并且因自转速度快而周期极短，因此其运动规律为简谐振动。

由此可知，质点m垂直于圆盘的瞬时速度与加速度遵守同样的规律，加速度为时间t的余弦函数，速度为时间t的正弦函数，相位比加速度差1/4个周期。即质点线加速度最大时（12、6）垂直于圆盘的运动速度为0；线加速度为0时（9、3）质点垂直于圆盘方向的瞬时速度最大。因此质点m自转一周的瞬时速度分布如下（示意图）

五、圆盘的运动

以上分析出质点m在垂直于圆盘方向的瞬时速度变化规律，同样具有周期性质。圆盘上每个质点都遵循同样的规律，做圆周运动同时都在做同周期的简谐振动，过12、6连线时，垂直于盘面的瞬时速度都为0，因此表盘12、6连线（竖直直径）的空间位置始终不变，即在竖直力偶的作用下，圆盘不会出现竖直方向的翻转。质点过竖直直径后，立即在线加速度a=A(r)cos(ωt)的作用下加速，并在1/4周期处（9、3）达到最大值，随后加速度反向，质点减速，在1/2周期处（12、6）速度减至0。因此，圆盘上所有质点垂直于圆盘的瞬时线速度分布如下图

在竖直方向力的作用下，由于圆盘自转，整体没有出现以水平直径为轴的竖直翻转，这就是陀螺的稳定性；同时出现了以竖直直径为轴的水平翻转，这就是陀螺的进动。

六、针对陀螺的分析

在重力与支座的反力共同作用下，陀螺本应以支点为轴翻下来（倒下），倒下的同时其旋转盘必然要出现竖直翻转，但根据以上分析，此时高速自转的旋转盘不会出现竖直翻转，因此陀螺当然不会翻下来，自转轴依然保持水平，这就是陀螺不倒的道理。同时旋转盘将出现以竖直直径为轴的水平翻转，但受到支点制约，表现为围绕支点的水平公转，这就是陀螺进动的来源。

本贴由[llaaoojiao]最后编辑于：2006-6-18 23:42:20

作者: husonghu 时间: 2006-6-12 20:16
标题: 佩服佩服[@};-][@};-][@};-][@};-]

佩服佩服

作者: llaaoojiao 时间: 2006-6-13 05:34
标题: 谢谢！

有空请您和其他朋友帮忙找找毛病，以上论述有没有漏洞？

作者: LOTUSEATER 时间: 2006-6-13 19:42
标题: [:-Q][@};-]

作者: math62 时间: 2006-6-15 19:36
标题: 回复：陀螺现象的起源……质点的圆周运动+简谐振动（图）

文章写得不错。但"将重力矩简化为作用于圆盘的铅直力偶Q"一句欠妥。似应“将重力矩分解为作用于圆盘的铅直力偶Q与作用于盘心的重力”，因为支点不在盘心。

陀螺的稳定性及进动在“理论力学"(大学力学专业必修课）中有讨论。

帖子作者似为正在新疆xx的原中学物理教师（我瞎猜了，不好意思！）。盼有空多为脑坛写好文章。

作者: LOTUSEATER 时间: 2006-6-16 17:16
标题: 吾该[:)]

吾该

作者: llaaoojiao 时间: 2006-6-19 06:23
标题: 谢谢提醒

我的意思也是如此，某瞬时刚体的运动可分解为平动和转动，我是想先放下平动，只说转动。或许这样容易使人误解，我将根据您的提议修改，尽量说清问题，谢谢！请帮忙继续分析此“定性分析”

另：我不在新疆。

作者: math62 时间: 2006-6-20 19:46
标题: 回复：谢谢提醒

噢。那就是在青海了，或者是其他西部地区（如果是在内地的话）。

作者: llaaoojiao 时间: 2006-6-21 11:51
标题: 回复：回复：谢谢提醒

呵呵，您为什么非要认定我在西部？

还是请多费心，帮忙找找问题，这个定性解释能否通过？

原贴：

文章来源: math62 于 2006-6-20 11:46:32
标题：回复：谢谢提醒

噢。那就是在青海了，或者是其他西部地区（如果是在内地的话）。

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