这个问题其实有一个简单的证明。 取周长的一半作弧线(不封闭),设两端点分别为A,B. 在弧线中任选点C, 得角ACB。如果这个角不是90度,我们可以掰成90度使三角形ABC面积最大,而保持两曲边部分面积不变。因此得到使面积最大的局部性质端点到弧上任一点张成90度,这样的图形只有半圆。 |
看起来是对的,但要加一些细节。图形必须是对称的,不然这一半变大,另一半可能变小 |
物理中的表面张力现象通常同球或圆相关。相同表面积,球给出最大体积,譬如失重状态下的水滴。 相同周长下,圆给出最大面积,例如此题。我们来考虑一个闭合的绳子,有外力作用在绳子上。单位长度上的外力相同且沿法线方向。此时形成的曲线上的任何一点曲率都相同,因此绳子最终成圆形。 当然这只是物理上的直觉,需要严格的数学证明来支持。 按照提示我给出一个不严格的考虑。 (1)四个边长固定的四边形中,有外接圆的面积最大。这个可以证明。 〔2)n个边长固定的n边形中,有外接圆的面积最大。从(1)得到。 对于固定周长,n边形小于更高边形。这容易证明。大概如下, 首先凹形不如凸形面积大。凹形做若干反射可变为凸形。我们只需考虑凸 n 边形。 考察一个角,作一直线切角为不等腰三角形。旋转该三角形180度,会形成凹形。作反射得到凸边形,不断进行下去,得到越来越高的多边形。而且可证明最大的边长趋于零。 再考虑〔2)n个边长固定的n边形中,有外接圆的面积最大。得到圆。 |
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