空间中的球面解答 - 珍珠湾ART

难度：++到+++

空间中N个球面最多能把空间分成多少部分？

设答案为 F（N）。当加第N个球面时，该球面被前面的N-1个球面分为 G（N-1）部分，因此有 F（N）= F（N-1）+ G（N-1）。现在考虑G（N）。

G（N）= 一个球面被N个平面分成的最多部分。当加第N个平面时，该平面与球面的交被前面的N-1个平面分为 H（N-1）部分，因此有 G（N）= G（N-1）+ H（N-1）。再考虑 H（N）。

H（N）= 一个圆周被N条直线分成的最多部分，所以 H（N）= 2N。因此 G（N）= 2 + H（1）+ H（2）+ ... + H（N-1）= N*（N-1）+ 2，而 F（N）= 2 + G（1）+ G（2）+ ... + G（N-1）= N *（N^2 - 3*N + 8）/ 3。