关于10位数的题的一般情况 - 珍珠湾ART

前几天又出了一道关于10位数的题，具体内容见下面的连接

题目：设有序集合{a0, a1, a2, ..., a2004}的2005个元素均为非负整数，且其中恰含a0个0，a1个1，a2个2，......，a2004个2004。

这样的集合是否存在？如存在，试求出此集合各元素的值。

【解答】
所求集合的所有元素之和S=a0+a1+a2+...+a2004,另一方面，因集合中共含有a0个0，a1个1，a2个2，...,a2004个2004，故S=a0*0+a1*1+a2*2+...+a2004*2004.
即有a0+a1+a2+...+a2004=a1+a2*2+...+a2004*2004,或a0=a2+2*a3+3*a4+...+2003*a2004.
若a0≤5,即所有元素中0的个数不大於5，则a2至a2004共2003个数中最多有5个0，当然至少有3个非零整数，上式的右端必大於等於6，矛盾。
因此a0≥6，记a0=m,则集合各元素中至少有1个m,即am≥1,代入上式，有
m=a2+2*a3+...+(m-1)*am+...+2003*a2004.
注意到m≥6，显然其解为a2=am=1,而其余2001个ai均为0。因共有2个元素值为1，得a1=2;因共有2001个元素为0，得a0=m=2001,且a2001=1。

本题的答案是：符合题设条件的集合为{2001,2,1,0...(共1998个0)...0,1,0,0,0}，且其解是唯一的。

【说明】
有序集合是指一个集合的各个元素是按次序排列的，即{2，1，3}与{1，3，2}是不同的有序集合，但并不意味着集合内各个元素的值需按升序或降序排列。